شخصي به حاكم مراجعه و تقاضاي كار مي كند. حاكم سكه اي را كه خود ساخته است به وي داده و مي گويد: شانس شير آمدن سكه، يعنيp برابر 3/0 يا 8/0 است. اجازه داري سكه را 5 مرتبه پرتاب كني و تصميم بگيري كه كدام مقدار براي p درست است. اگر درست گفتي كار مورد نظرت را خواهي يافت.

 اگر گفتي 8/0=p در حاليكه 3/0= p ، 7 روز زنداني خواهي شد و اگر گفتي 3/0= p در حالي كه8/0=p ،يك ماه زنداني خواهي شد.

    داستان به زبان آماري

فرض كنيد ,x5…x1, يك نمونه تصادفي 5 تايي از توزيع (p،1)B باشد. براساس داده هاي فوق، شخص بايد تصميم بگيرد آيا 8/0=p يا 3/0=p است. به عبارت ديگر علاقمند به

آزمون زير هستيم.

H0:p=0/3    vs       H1:p=0/8

ناحيه بحراني و ناحيه پذيرش داستان

در هر مسئله آزمون فرضها، يك كميت قابل مشاهده در اختيار قرار مي گيرد. در داستان شاه پريان اين كميت∑XI=x است ، توجه داشته باشيد كهX در اينجا يك آماره بسنده است. بنابراين، اين كميت قابل مشاهده متغيري تصادفي چون X است و قرض هاي آماري مي گويد كهX به صورت خاصي توزيع شده است. معمولا" فرضهاي آماري، به همه مقادير ممكن X احتمالهاي مثبتي را نسبت مي دهد، در نتيجه هر مقداري كه مشاهده شود، تحت فرض مزبور مي تواند رخ دهد. بنابراين هيچ مشاهده اي به طور حتم نمي تواند در راستاي  رد قطعي فرض مشخص شده اي باشد. اما يك نكته حساس را بايد توجه داشت: برخي از مقادير مشخصX موجب شك عمده در درستي يك فرض آماري مي شوند. باز هم به داستان شاه پريان بر مي گرديم : در اينجا آزمايشي انجام گرفته است و منجر به مشاهده آمار تعداد شيرها=X ، شده است. توجه داشته باشيد كه مقادير معين از X در اين داستان مقادير بزرگ X تحت فرض Ho نامتحمل ولي تحت فرض H1 داراي احتمال زياد هستند. حال اگر مقدار مشاهده شده X به حد كافي بزرگ باشد، مايل خواهيم بود Ho را به نفع H1 رد كنيم. به ياد داشته باشيدX را تابعي از ,X5…X1, است آماره آزمون مي ناميم. اگر قرار است فرض Ho هنگامي رد شود كه X، آماره آزمون، مقادير بزرگ را بپذيرد، تصميم گيري در اين مورد دقيقا مرز بين رد و قبول را چگونه بايد تعيين كرد، ضرورت مي يابد. براي سادگي بحث، فرض مي كنيم مقادير بزرگ X آنهايي هستند كه>> معني دار<< هستند، يعني باعث مي شوند در درستي Ho شك مي كنيم. اگر توافق شد كه فرض Ho را وقتي رد كنيم كه X≥k باشد، در آن صورت مقدار مرزي k ، مقداربحراني خوانده مي شود. اين عدد كوچكترين عددي است كه منجر به رد Ho مي شود. سوُال عمده در اينجا اين است كه k چگونه انتخاب مي شود؟ گفتيم كه در هر آزمون آماري فضاي آماره آزمون  رابه دو ناحيه تقسيم مي كند: ناحيه بحراني و ناحيه پذيرش. در اين داستان فضاي آماره {0.1.2.3.4.5}=x است و به سادگي معلوم مي شود كه آزمونهاي ممكن براي شخص از 64=6^2 (^ توان) ناحيه بحراني تشكيل شده است. جداول صفحات بعد مقادير محاسبه شده β،α را درحالتهاي مختلف نشان مي دهد با توجه به جداول مقادير محاسبه شده ، ملاحظه مي شود كه امكان مينيمم كردن همزمان مقادير β،α وجود ندارد و يك استراتژي قابل قبول مي تواند بدين صورت بيان شود. ابتدا كران بالايي را براي α درنظر مي گيريم و بين همه حالتهاي ممكن كه در آن احتمال خطاي نوع اول ازآن مقدار كمتر يا مساوي است، حالتي را اختيار مي كنيم كه در آن β كمترين است. با توجه به آنچه گفته شد داستان فوق ما را به ارائه تعاريف زير از جمله تعريف پرتوانترين آزمون رهنمون مي سازد.

تعريف: آزمون φ يك آزمون در سطح α ناميده مي شود اگر

Eθ.[φ(x)]≤α

تعريف: آزمون φ يك آزمون اندازه  α ناميده مي شود اگر

Eθ.[φ(x)]= α

تعريف: آزمون* φ يك آزمون پر توان در سطح α ناميده مي شود اگر

Eθ.[ φ*(x)]≤α

و براي هر آزمون ديگر نظير φ در سطح α يعني با شرط 1Eθ.[φ(x)]≤α داشته باشيم:

Eθ.[ φ*(x)]≥ Eθ.[φ(x)]

در حقيقت براي پيدا كردن آزمون{0،1}x→׃φ* كه در سطح α بهترين باشد، به دنبال حل مسئله زير هستيم: بين تمام آزمونهاي {0،1}x→׃φ مي خواهيم φ* را انتخاب كنيم كه Eθ.[ φ*(x)] را نسبت به شرط جانبي زير ماكزيمم كند.

Eθ.[ φ*(x)]=∫φ(x)ƒθ.(x)dµ(x)≤α

يك سوال اساسي كه در اينجا مطرح مي شود اين است كه اين اتنخاب چگونه مي تواند انجام گيرد؟ يك جواب ساده به اين سوال لم معروف به لم نيمن- پيرسون است كه يك روش قانونمند را براي تعيين پرتوانترين آزمون در سطح α ارائه مي كند. براي درك مناسب  از لم نيمن – پيرسون ، ابتدا قسمت اول اين لم را در يك شكل ساده بيان خواهيم كرد. در خلال اين مثالها، موضوع آزمونهاي تصادفي شده را مطرح مي كنيم، آن گاه قسمت اول لم را همراه با ساير قسمتها به طور كامل و اثبات مي كنيم.

لم نيمن- پيرسون فرض كنيد X يك متغير تصادفي با تابع چگالي احتمال (يا تابع احتمال)ƒθ(χ) باشد علاقمند به آزمون زير هستيم.

Ho=θ=θo       υδ       H1:θ=θ١

الف) براي آزمون Ho در مقابل H1 ، اگر آزمون φ* را براي هر .≤k<∞ به صورت زير تعريف كنيم.

 ƒθ١(x)>kƒθo(x)    1

                     φ*(χ)=

ƒθ١(x)< kƒθo(x)  0   

به طوري كهα= Eθ.[ φ*(x)] باشد، آن گاه φ*(x) پرتوانترين آزمون در سطح α براي آزمون Ho در مقابل H1 است

اثبات: فرض كنيد φ هر آزمون ديگر در سطح α براي آزمون Ho در مقابل H1 باشد يعني

Eθ.[φ(x)]≤α

مي خواهيم نشان دهيم

Eθ1 [φ*(χ)]≥Eθ1[φ(χ)]

به سادگي معلوم مي شود كه(چرا؟)

∫(φ*(x)-φ(x))[ƒθ1(x)-kƒθo(x)]dµ(x)≥ ◦

درنتيجه با استفاده از رابطه بالا معلوم مي شود كه

 ∫(φ*(x)-φ(x)) ƒθ1(x) dµ(x)≥k∫(φ*(x)-φ(x)) ƒθo(x) dµ(x)

يا

Eθ1[φ(x)]≥k{Eθo[φ*(x)]-Eθo[φ(x)]}≥◦

بنابراين

Eθo[φ*(x)] ≥ Eθ1[φ(x)]